Perkalian, Kombinasi dan Permutasi

Dalam menentukan nilai peluang suatu peristiwa, peristiwanya dapat juga ditentukan berdasarkan hukum perkalian, kombinasi, permutasi, sampling dengan pengembalian, sampling tanpa pengembalian.

Definisi 1
Jika sebuah operasi terdiri dari k tahap, tahap pertama dapat dilakukan dalam n1 cara, untuk masing–masing cara ini tahap kedua dapat dilakukan dalam n2 cara, masing-masing cara tahap ketiga dapat dilakukan dalam n3 cara dan seterusnya sampai tahap ke-k dapat dilakukan dalam nk cara, maka secara keseluruhan operasi dapat dilakukan dalam n1, n2, . …nk cara.

Contoh 1
Misalkan terdapat 6 buah angka yaitu : 1, 3, 5, 7, 8, 9.Kemudian dibentuk sebuah bilangan yang
terdiri dari tiga angka dan setiap angka hanya digunakan sekali. Berapa peluang bahwa bilangan
yang dibentuk adalah bilangan genap?
Jawab:
Misalkan A = bilangan yang dibentuk adalah genap, dengan susunan

Angka III (satuan) dapat diletakan satu angka, ini ditentukan terlebih dahulu karena sebagai penentu bahwa bilangan yang dibentuk adalah genap.
Angka I (Ratusan) dapat diletakan 5 buah angka
Angka II ( Puluhan) dapat diletakan 4 buah angka
Sehingga n(S) = 1. 5. 4 = 20
Sedangkan n(S) = banyaknya bilangan yang terdiri dari tiga angka secara keseluruhan dapat dibentuk = 6. 5. 4 = 120 cara

Definisi 2
Susunan yang mungkin dari objek-objek yang berbeda “dengan” memperhatikan urutan disebut permutasi.
Teorema 1
Jika kita mempunyai n objek yang berbeda, maka banyaknya permutasi yang mungkin dari semua objek tersebut ada n! cara.

Teorema 2
Misalkan kita mempunyai n objek yang berbeda, Jika diambil k objek dari n objek maka banyaknya permutasi yang mungkin ada:
nPk = n(n-1)(n-2)…(n-k-1) = n!/(n-k)! susunan.

Teorema 3
Banyak pemutasi dari n objek, dengan n1adalah banyak objek pertama sama, n2 banyak objek
kedua sama, …, nk adalah banyak objek ke k sama dan n1+ n2+ … + nk = n adalah

Definisi 3
Susunan objek – objek yang berbeda “tanpa” memperhatikan urutan disebut kombinasi.
Teorema 4
Misalkan kita mempunyai n objek yang berbeda. Jika diambil k dari n objek, maka banyaknya susunan yang mungkin ada

Definisi 4
Misalkan A adalah sebuah peristiwa yang ditentukan berdasarkan hokum perkalian, hukum permutasi atau kombinasi maka peluang terjadinya peistiwa A didefinisikan sebagai :

P(A) = N(A)/N(S)

Dengan :
N(A) adalah banyaknya anggota peristiwa A yang ditentukan oleh salah satu hokum permutasi, kombinasi atau pekalian. N(S) adalah banyakny anggota secara keseluruhan.

Contoh 2
Seorang siswa diminta menyelesaikan 7 buah soal dari 10 soal yang disediakan dalam suatu ujian tulis. Berapa peluang siswa tersebut harus mengerjakan 4 soal yang pertama.

Jawab:
Misalkan B = siswa tersebut mengerjakan 4 soal pertama dari 7 soal yang harus dikerjakan.

salam pak say sing ganteng >>>